カテゴリー: Scratch

数学検定の５級、準２級の合格を目指している人のために練習アプリを作りました。
しっかり練習して合格することを祈っています。

算数オリンピック2007　ファイナル問題7

水平な床に長さ2007cm、奥行2cm、高さ2cmの直方体の箱があり、その中を半径1cmの球が転がるようになっています。
箱の丁度中央には球Cがあり、その左に球A、右に球Bがそれぞれ接しています。3つの球の半径は全て1cmです。
いま、球Aが左向きに毎秒7cm、球Bが毎秒37cmの速さで同時に転がり始めました。球Cは静止したままです。
この後、はじめて3つの球が同時に衝するまでの間に球Cは何cmの道のりを転がるか？
ただし各球は何もないところでは等しい速度で真っ直ぐ進み、壁にぶつかると反射して同じ速さで逆向きに進み、球と球が衝突するとそれぞれの速度と向きが相手の球の速度と向きに入れ替わることが知られています。

問題を読むだけでも疲れてしまいます。これは難問です。
これを小学生が解くのは大変です。とりあえず、いつものようにプログラミングで解いてみました。緑のスタートボタンを押してください。

球C（ピンクのボール）が22回の正面衝突をしてその移動距離が22011cmだと分かります。プログラムはこのように球の動作をシミュレートするのは得意です。Scrathはスプライトの衝突を検知するのでプログラムが簡単にできます。さて、この問題を小学生がプログラムも使わずどのように解けばよいのでしょう。

ピンクのボールの動きだけに注目しましょう。規則正しく移動していることが分かります。
長さ2007cmを移動しますが球の半径がすべて1cmです。3つの球の直径を引いてやれば点A,B,Cが移動することになり計算が略になります。
つまり長さを2007-２×３＝2001cmと考えます。ここを点Cが移動する様子をみれば小学生でも移動距離を計算できます。
ネコにタッチすれば求め方を解説してくれます。

a₁=1, a_n+2a_n=4・(-2)ⁿ (n=1,2,3,・・・)で定まる数列{a_n}について、次の問いに答えよ。
(1) a₂, a₃, a₄を求めよ。
(2) b_n=a_n/(-2)ⁿとするとき、{b_n}のみたす漸化式を求めよ。
(3) a_nをnの式で表せ。

(1)は計算して求めればよい。
(2)はとりあえずb1, b2, b3, b4を求めてみると初項が-0.5, 公差が-2の等差数列だと分かる。漸化式はb_n=b_n-1-2
b_n=-0.5-2(n-1)=-2n+1.5
a_n=(-2n+1.5)×(-2)ⁿ　

三角形の３頂点を３個のボールで指定してからネコにタッチすると描いてくれます。

高校生が問題を解くのに苦しんでいたので一瞬で解いてくれるプログラムを作りました。
プログラムは簡単なのですが、あまり見かけないような気がします。解き方もいろいろありますが、普通に三角形の外心を求めました。
もっと面白い解き方も考えたいと思います。
このプログラムの使い方ですがスタートボタンを押すと3点の座標を聞いてきますので順番に入力します。
入力が終わると円の中心の座標、円の半径、円の方程式が表示されます。

HTMLを簡単に埋め込むことができることが分かった。
これは便利だと思う。