カテゴリー: 数学の問題をプログラムで解く

５００以下の自然数のうち、正の約数が１５個である数の個数と求めよ。

for i in range(1,501):
　k=0
　for j in range(1,i+1):
　　if i % j ==0:
　　　k=k+1
　if k==15:
　　　print(i)
——————————
144
324
400

答えは３個です。プログラムを使えばこんなに簡単に解けます。
しかしきっと数学の先生は怒るから真面目に解きましょう。
積が１５になる自然数の組み合わせは１×１５と３×５です。
よって約数が１５個である数を素因数分解すると
p^1-1q^15-1=q¹⁴またはp^3-1q^5-1=p²q⁴の形です。
ただしp,qは素数でｐ≠ｑ
q¹⁴≦500 またはp²q⁴≦500となるp,qを求めましょう。
q¹⁴≦500となるｑはありません。

prime=[2,3,5,7,11]
　for p in prime:
　　for q in prime:
　　　if p**2*q**4<=500 and p!=q:
　　　print(p,q,p**2*q**4)
——————————————
2 3 324
3 2 144
5 2 400

a₁=1, a_n+1=3a_n – 2ⁿ という漸化式を解け。
累乗が入った漸化式はkⁿを掛けたり割ったりすることで単純な漸化式になることが多い。
両辺を2ⁿ⁺¹で割ると
a_n+1/2ⁿ⁺¹ = 3a_n/(2・2ⁿ) – 1/2
ここでbn=an/2ⁿとおくと、
b_n+1 = 3b_n/2 – 1/2
2b_n+1 = 3b_n – 1
b_n = -(3/2)ⁿ/3+1
a_n = 2ⁿb_n = 2ⁿ – 3^n-1

漸化式から一般項を求めるのはとても難しい。
しかし、実際こんな必要があるのだろうか？
コンピュータを使えば漸化式から簡単に値を求めることができる。
Excelで計算した例であるが、セルC1にa1の値を入れてc2に漸化式の式 [=3*C3-2^B3]を入れて下にコピーするだけで計算できる。
どんな難しい漸化式でも大丈夫。

これで良いのではないか？

数の不思議（今野紀雄著）に複素数についてこのような話がありました。
愛は虚数単位の i ことです。つまり iのi乗 iⁱ がいくらかという問題です。 高校で虚数は習いますが、これがいくらかというのは難しい問題です。私はさっぱり分かりません。しかし、私には関数電卓があります。
早速求めてみました。

iⁱは0.2078…と分かります。
実際にはこの問題の解は
iⁱ=e^(2n-0.5)π となるそうです。n=0とすると
ii=e^-0.5π=0.2078…
答えは一致します。
スマホの関数電卓は手放せません。

5個の数字0 1 2 3 4を使って5桁の整数を作る時 （1）小さい順に並べた時、40番目の数は何か？ （2)32104は何番目の数か？
よく出る問題のようで検索するとすぐに見つかる。
いつものようにプログラミングで解いてみようと思う。
この５桁の数字を小さい順に並べたものを出力するプログラムは簡単だし、瞬時に求めることができる。

　４０番目の数は23140　　　　　　32104は６２番目　

プログラムはとても簡単で美しい。

子供の夏休みの作品として電卓のプログラムはどうでしょう？
親子で作る電卓のプログラミング教室を開催しょうかと思っています。
まずは四則演算ができる基本的な電卓を作ってそれを発展させていきます。
・数式電卓　例えば３＋４✕５と入力したら２３と計算してくれる電卓です。
・関数電卓　三角関数やLOGなどの計算もできる電卓です。
・音声入力電卓　数式を声で言うと言葉で教えてくれる電卓です。
このような楽しく実用的な電卓を作ろうと思っています。
数式電卓を作ろうとすれば逆ポーランド記法というのが出てきます。
この作り方が簡単に分かるプログラムを作ってみました。

次の□に入る数字を二項定理を用いて求めよ。
₁₀₁C₀ + ₁₀₁C₂ + ₁₀₁C₄ + …+₁₀₁C₉₈ + ₁₀₁C₁₀₀=2^□

この問題を解いているホームページがありました。

エレガントな解法です。
私はExcelで解いてみました。グラフ表示をすれば100だと分かりました。