カテゴリー: 数学

５００以下の自然数のうち、正の約数が１５個である数の個数と求めよ。

for i in range(1,501):
　k=0
　for j in range(1,i+1):
　　if i % j ==0:
　　　k=k+1
　if k==15:
　　　print(i)
——————————
144
324
400

答えは３個です。プログラムを使えばこんなに簡単に解けます。
しかしきっと数学の先生は怒るから真面目に解きましょう。
積が１５になる自然数の組み合わせは１×１５と３×５です。
よって約数が１５個である数を素因数分解すると
p^1-1q^15-1=q¹⁴またはp^3-1q^5-1=p²q⁴の形です。
ただしp,qは素数でｐ≠ｑ
q¹⁴≦500 またはp²q⁴≦500となるp,qを求めましょう。
q¹⁴≦500となるｑはありません。

prime=[2,3,5,7,11]
　for p in prime:
　　for q in prime:
　　　if p**2*q**4<=500 and p!=q:
　　　print(p,q,p**2*q**4)
——————————————
2 3 324
3 2 144
5 2 400

高校生の問題集にこんな問題がありました。
１から100までの100個の自然数の積
　N=1・2・３・………・100　を計算すると、末尾には０が連続して何個並ぶか。

スマホの電卓でも100!は簡単に求められる。
93326215443944152681699238856266700490715968264381621468592963895217599993229915608941463976156518286253697920827223758251185210916864000000000000000000000000000 
答えは24個です。つまらない問題！

しかしスマホで答えたのでは数学としての問題の意味がないので真面目に解答しましょう。
5が約数の数字と２が約数の数字をかけると末尾に０が付きます。２が約数の数字は50個もあるので５が約数の数だけ０が付くと考えます。１００÷５＝２０なので０は末尾に20個連続します。これが正解かと思うとそうではありません。約数５が2個の数字もあるからです。つまり約数に２５がある数字はさらに０の数が増えます。１００÷２５＝４なので０の数は２０＋４＝24個連続することになります。
約数５が3個ある数字も考えましょう。これは５^３=１２５になり１００を超えてしまうのでありません。
以上のことから答えは24個になります。

2辺の長さとその間の角度が分かっていれば三角形の残りの値が分かるのでそれを利用しようと思う。きっともっと簡単な方法があると思うけど思いつかない。
2辺は５と10Cos20°でその間の角度が40°なので残った辺の長さをｘとすると
x²=5²+(10Cos20°)²-2・5・(10Cos20°)Cos40°
Sin?=5・Sin40/x=0.5
よって？＝30°

ここに面白いホームページがありました。『黒子のバスケ』という漫画を題材にシュートを2次関数で説明しています。
リングに当たらずにゴールできるシュートの打ち出し角の条件は30度以上です。（正確にはボールの直径が24.5 cm、リングの直径が45 cmなので33度以上）

シミュレーションはこちら

ｎとa_nを値を眺めながら推定する。
a_n=n²と仮定する。n=1のときa₁=1なので成り立つ。
a_k=k^２とすると
a_k+1=a_k²-k²a_k+(k+1)²
　　 =k⁴-k⁴+(k+1)²=(k+1)²　となりk+1のときにも成立する。以上からa_n=n²という推定は正しい。

（1）a₁=3, a_n+1=-a_n+2
c=-c+2よりc=1
a_n+1-1=-(a_n-1)
b_n=a_n-1とすると
b_n+1=-b_n
b₁=a₁-1=3-1=2よりbnは初項２で公比-1の等比数列である。
b_n=2(-1)^n-1
a_n-1=2(-1)^n-1 より　a_n=2(-1)^n-1+1

(2) a₁=2, 2a_n+1-3a_n=3
2c-3c=3 より c=-3
a_n+1+3=3/2(a_n+3)
b_n+1=3/2b_n
b₁=a₁+3=5 よりbnは初項5で公比3/2の等比数列である。
bn=5(3/2)^n-1
a_n+3=b_nよりb_n=5(3/2)^n-1-3

数学おもしろセンス　関根章道著（技術評論社）より
x³y-xy³-x²+y²-2xy-1　を因数分解せよ。
ヒント：2xyをxy+xyと分解して考えてみましょう
x²y²+x³y-x²-(x²y²+xy³+xy)+y²–xy
　　ここでx²y²と-x²y²を挿入します。すると以下のように変形できます。こんなの思いつかないよう！
=x²(y²+xy-1)-xy(xy+y²-1)+(y²+xy-1)
=(x²-xy+1)(y²+xy-1)
みごとに因数分解できました。

a₁=1, a_n+1=3a_n – 2ⁿ という漸化式を解け。
累乗が入った漸化式はkⁿを掛けたり割ったりすることで単純な漸化式になることが多い。
両辺を2ⁿ⁺¹で割ると
a_n+1/2ⁿ⁺¹ = 3a_n/(2・2ⁿ) – 1/2
ここでbn=an/2ⁿとおくと、
b_n+1 = 3b_n/2 – 1/2
2b_n+1 = 3b_n – 1
b_n = -(3/2)ⁿ/3+1
a_n = 2ⁿb_n = 2ⁿ – 3^n-1

漸化式から一般項を求めるのはとても難しい。
しかし、実際こんな必要があるのだろうか？
コンピュータを使えば漸化式から簡単に値を求めることができる。
Excelで計算した例であるが、セルC1にa1の値を入れてc2に漸化式の式 [=3*C3-2^B3]を入れて下にコピーするだけで計算できる。
どんな難しい漸化式でも大丈夫。

これで良いのではないか？