カテゴリー: 数学

a₁=1,a_n+1-a_n=n(n+1)で定義される数列{an}について
a₂₀とS₂₀を求めよ。
a_n=1+1・2+2・3+・・・・+n(n+1)

a_n=1+Σ[k=1..n-1]k²+Σ[k=1..n-1]k
　=1+(n-1)n(2n-1)/6+n(n-1)/2
　=(n³-n+3)/3+1
a₂₀=2661

Sn=(Σ[k=1..n]k³ – Σ[k=1..n]k + 3n)/3
　=[{n(n+1)/2}² – n(n+1)/2 +3n]/3
　=n(n³+2n²-n+10)/12
S₂₀=14650

数列{a_n}は、a₁=1/2, a₂=2, a_n+1×a_n-1=(a_n)2 　(n≧2)を満たしている。このときa_nを求めよ。

a_n+1/a_n=a_n/_an-1より等比数列だと分かる。
a₁=1/2、a₂/a₁=4よりa_nは初項1/2,公比4の等比数列なのでa_n=1/2×4^n-1

数列{a_n}のn項までの和がS_n=n・3ⁿ⁺¹-1で表されるときa₁とn≧2に対する一般項a_nを求めよ。
a₁=S₁=9-1=8
a_n=S_n-S_n-1=n・3ⁿ⁺¹-1-(n-1)3ⁿ=(3n-n+1)3ⁿ=(2n+1)3ⁿ

Sn=4n-a_nが成り立つとき
(1) 初項a₁の値を求めよ。
　S₁=a₁=4-a₁ 2a₁=4 a₁=2
(2) a_n+1をa_nで表せ。
　a_n+1=S_n+1-S_n=4(n+1)-a_n+1-4n+a_n
　a_n+1=a_n/2+2
(3) この数列の一般項を求めよ。
　a_n+1-4=(a_n-4)/2 より{a_n-4}は初項がa₁-4=2-4=-2,
公比が1/2の等比数列
　a_n-4=-2×(1/2)^n-1 より
　a_n=-2×(1/2)^n-1+4

a1=0, a2=3とし、
a_n+1=(4/3)a_n-(1/3)a_n-1 (n=2,3,4,・・・・)とする。
一般項を求めよ。
3(a_n+1-a_n)=a_n-a_n-1
(a_n+1-a_n)=(1/3)(a_n-a_n-1)
これは初項が3, 公比が(1/3)の階差数列なので
n-1
a_n=0+ Σ 3×(1/3)^k-1 =(9/2)(1-3^1-n)
k=1

a₁=1, a_n+1=(8a_n-1)/(25a_n-2) (n=1, 2, 3, 4,・・・)について以下の問いに答えよ。
(1) a₂, a₃, a₄, a₅を求めよ。
a₁=1/2, a₂=2/7, a₃=3/12, a₄=4/17, a₅=5/22
分子はn, 分母は初項2, 公差5の等差数列と予想する。
a_n=n/{2+5(n-1)}=n/(5n-3)
このanをa_n+1=(8a_n-1)/(25a_n-2)に代入する
分子は(8a_n-1)＝(8n-5n+3)/(5n-3)=(3n+3)/(5n-3)
分母は(25n-10+6)/(5n-3)=(15n+6)/(5n-3)
よってa_n+1=(3n+3)/(15n+6)=(n+1)/(5n+2)………①
また、a_n=n/(5n-3)より
a_n+1=(n+1)/{5(n+1)-3}=(n+1)/(5n+2)………②
①=②から予想は正しい。

ネットでこのような問題が紹介されていました。
x¹⁴+x⁷+1を係数が実数の範囲で因数分解せよ。
簡単そうに見えます。しかし、これは数学検定１級の問題でしかも解答が間違っていたという有名な難問だそうです。
日本の数学は因数分解の勉強にすごく時間をかけていると言われていますが、確かにそうだと思います。
実際に解いてみました。
とりあえずf(x)=x¹⁴+x⁷+1がどんなグラフになるのかを見てみましょう。グラフはパソコンやスマホで簡単に表示できます。

x軸とは交わらないのでf(x)=0となるxは虚数になることが分かります。つまり因数定理なんかでは因数分解できない。
それならx7=Xとすればこの式はX²+X+1になります。
X²+X+1=0となるXは解の公式よりX=(-2±i√(3))/2
この値をxとしてf(x)に代入するとf((-2±i√(3))/2)=0となることからf(x)は(x²+x+1)で因数分解できることが分かります。
早速　(x¹⁴+x⁷+1)÷(x²+x+1)を筆算で計算すると
f(x)=(x²+x+1)(x¹²-x¹¹+x⁹-x⁸+x⁶-x⁴+x³-x+1)
これでとりあえず因数分解できました。
「係数が整数の範囲で因数分解せよ」というのならこれで正解です。
しかし「係数が実数の範囲で因数分解せよ」というのだからさらにこれは因数分解できます。

2次方程式でよく出てくる完全平方は面倒なのでメモとして公式を紹介します。

満月の時、腕を伸ばして5円玉の穴から月をのぞくと5円玉の穴に月がおさまります。ぴったりおさまったときの目と5円玉の距離は55cm、5円玉の穴の大きさは5mm、月までの距離は約38.5万kmなので計算で月の直径を求めることができます。
月の直径は3474ｋｍなのでほぼ正確に求められました。