[14]数列の問題

a₁=1, a_n+1=(8a_n-1)/(25a_n-2) (n=1, 2, 3, 4,・・・)について以下の問いに答えよ。
(1) a₂, a₃, a₄, a₅を求めよ。
a₁=1/2, a₂=2/7, a₃=3/12, a₄=4/17, a₅=5/22
分子はn, 分母は初項2, 公差5の等差数列と予想する。
a_n=n/{2+5(n-1)}=n/(5n-3)
このanをa_n+1=(8a_n-1)/(25a_n-2)に代入する
分子は(8a_n-1)＝(8n-5n+3)/(5n-3)=(3n+3)/(5n-3)
分母は(25n-10+6)/(5n-3)=(15n+6)/(5n-3)
よってa_n+1=(3n+3)/(15n+6)=(n+1)/(5n+2)………①
また、a_n=n/(5n-3)より
a_n+1=(n+1)/{5(n+1)-3}=(n+1)/(5n+2)………②
①=②から予想は正しい。